Doporučit stránku
Prostřednictvím této bubliny (nebo také pomocí formuláře ve spodní části) můžete doporučit projekt www.ucenionline.com dalším lidem. Stačí vyplnit Vaše jméno a mailovou adresu příjemce, kam bude následně odeslána doporučující mailová zpráva.
Veselé děti
Ostrovy radosti
Matematika
"Vítejte v modulu Matematika"
Pokud chcete chcete získat doporučení od učitele nebo naplánovat výuku on-line ? Registrujte se !
Rovnice
*Toto je pouze náhledová verze dokumentu. Celý dokument si můžete prohédnout po registraci
Typ materiálu
|
Dokument - Základní orientace
|
KOMU
|
ZŠ 2. Stupeň/ 8.-9.ročník
|
TÉMA
|
Rovnice - úvod
|
JAK
|
Rodič ðžák (
|
Počet stran
|
8
|
Autor
|
Mgr. Lenka Eiseltová
|
Rovnost.
Víme:
- sedmnáct mínus čtyři rovná se třináct – matematicky zapíšeme: 17 – 4 = 13
- ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
Tyto zápisy říkají, že dvě čísla nebo dva výrazy se rovnají.
- 17 – 4 ¹ 12 jestliže se levá strana výrazu ( 17 – 4 ) nerovná pravé straně výrazu, zapíšeme L ¹ P a zápis označíme jako nerovnost
- místo znaku ¹ můžeme použít znaky < nebo >, takže můžeme zapsat 17 – 4 > 12
Příklad: Zjisti, pro jaké x Î{1, 2, 3, 4 } jsou si výrazy 2x - 1 a x + 3 rovny.
Řešení:
Řešení:
- x = 1
2x – 1 = 2 . 1 – 1 = 2 – 1 = 1
x + 3 = 1 + 3 = 4 1¹4
- x = 2
2x – 1 = 2.2 – 1 = 4 – 1 = 3
x + 3 = 2 + 3 = 5 3¹5
- x = 3
2x – 1 = 2.3 – 1 = 6 – 1 = 5
x + 3 = 3 + 3 = 6 5¹6
- x = 4
2x – 1 = 2.4 – 1 = 8 – 1 = 7
x + 3 = 4 + 3 = 7 7=7
Pro x = 4 jsou si výrazy 2x – 1 a x + 3 rovny ( L = P ).
Rovnice
- rovnice je zápis dvou výrazů s proměnnou
- tuto proměnnou nazýváme neznámá a označujeme jí písmeny – nejčastěji x, y
- řešit rovnici znamená hledat taková čísla, aby se po dosazení za neznámou změnila rovnice na rovnost
- číslo, které je řešením rovnice, označujeme kořen rovnice nebo řešení rovnice
Příklad: Ve třídě je celkem 25 žáků, z toho je 12 chlapců. Kolik dívek je v této třídě?
Zápis
chlapci 12
dívky x
celkem 25
Platí: chlapci + dívky = celkem žáků
12 + x = 25
Snadno zjistíme, že x = 25 – 12 = 13, tedy ve třídě je 13 dívek.
12 + x = 25
x = 25 – 12
x = 13
Řešení rovnice ověříme zkouškou:
Levá strana rovnice Pravá strana rovnice
L = 12 + x P = 25
L = 12 + 13
L = 25 L = P
Jestliže platí, že L = P, znamená to, že jsme rovnici vyřešili správně. Pokud by vyšlo L¹P, pak máme v řešení rovnice chybu.
Řešení rovnic
Při řešení rovnic používáme ekvivalentní úpravy ( = úpravy, při kterých se kořen rovnice nezmění ):
- k oběma stranám rovnice přičteme stejné číslo ( stejný jednočlen nebo mnohočlen )
- od obou stran rovnice odečteme stejné číslo ( stejný jednočlen nebo mnohočlen )
- obě strany rovnice vynásobíme stejným číslem různým od nuly
- obě strany rovnice vydělíme stejným číslem různým od nuly
- zaměníme strany rovnice
Příklad řešení:
2x – 1 = x + 3
k oběma stranám rovnice přičteme číslo 1 – tak na levé straně eliminujeme čísla a zbude jen výraz s proměnnou
2x – 1 + 1 = x + 3 + 1
2x = x + 4
nyní odečteme od obou stran rovnice neznámou x – tak se na pravé straně zbavíme neznámé a zbudou tam jen čísla
2x – x = x + 4 – x
x = 4
Nyní máme rovnici vyřešenou – pomocí ekvivalentních úprav jsme našli řešení.
Zkouška:
L = 2x – 1 = 2.4 – 1 = 8 – 1 = 7
P = x + 3 = 4 + 3 = 7 L = P
Podobně:
x + 11 = 3x – 1
nejprve od obou stran odečteme neznámou x
x + 11 – x = 3x – 1 – x
11 = 2x – 1
nyní k oběma stranám rovnice přičteme 1
11 + 1 = 2x – 1 + 1
dostáváme
12 = 2x
obě strany rovnice dělíme číslem 2
12 : 2 = 2x : x
dostáváme
6 = x
obě strany můžeme zaměnit pro lepší přehlednost výsledku
x = 6 kořen rovnice
Zkouška:
L = x + 11 P = 3x - 1
L = 6 + 11 = 17 P = 3 . 6 – 1 = 18 – 1 = 17
L = P
Rovnice x + 11 = 3x – 1 má řešení x = 6.
Takováto řešení jsou ovšem dlouhá, v praxi se používá zkrácený zápis.
Postup při řešení rovnic – zkrácené řešení
- členy s neznámou převedeme na jednu stranu rovnice, čísla na druhou stranu rovnice
- při převodu členů z jedné strany na druhou změníme znaménka těchto členů
x + 11 = 3x – 1
neznámé dáme na pravou stranu ( je tam výraz 3x, na straně levé je výraz x, takže menší – tohle je jen jednodušší cesta, klidně můžeme neznámou převést na levou stranu a pak počítat s výrazem -2x a rovnici pak dělit číslem -2; jde jen o zkušenostJ), čísla na stranu levou – všimni si, že vše převedené píši NA KONEC levé nebo pravé strany
Pokud bychom převedli neznámé na levou stranu a čísla na pravou, dostaneme:
x – 3x = - 1 – 11
-2x = -12 dělíme číslem u x, tedy -2
x = -12 : ( -2 ) = + 6 řešení se tedy nezměnilo
Zkouška byla provedena na počátku této kapitoly.