Matematika

MATEMATIKA
           
              

 

"Vítejte v modulu Matematika"

Pokud chcete chcete získat doporučení od učitele nebo naplánovat výuku on-line ? Registrujte se !       

 


Rovnice

 

*Toto je pouze náhledová verze dokumentu. Celý dokument si můžete prohédnout po registraci
Typ materiálu
Dokument - Základní orientace
KOMU
ZŠ 2. Stupeň/ 8.-9.ročník
TÉMA
Rovnice - úvod
JAK
Rodič ðžák (
Počet stran
8
Autor
Mgr. Lenka Eiseltová
 
Rovnost.
Víme:
  • sedmnáct mínus čtyři rovná se třináct – matematicky zapíšeme: 17 – 4 = 13
  • ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
Tyto zápisy říkají, že dvě čísla nebo dva výrazy se rovnají.
  • 17 – 4 ¹ 12                 jestliže se levá strana výrazu ( 17 – 4 ) nerovná pravé straně výrazu, zapíšeme L ¹ P a zápis označíme jako nerovnost
  • místo znaku ¹ můžeme použít znaky < nebo >, takže můžeme zapsat 17 – 4 > 12
Příklad: Zjisti, pro jaké x Î{1, 2, 3, 4 } jsou si výrazy 2x - 1 a x + 3 rovny.
Řešení:
  • x = 1
2x – 1 = 2 . 1 – 1 = 2 – 1 = 1
x + 3 = 1 + 3 = 4                    1¹4
  • x = 2
2x – 1 = 2.2 – 1 = 4 – 1 = 3
x + 3 = 2 + 3 = 5                    3¹5
  • x = 3
2x – 1 = 2.3 – 1 = 6 – 1 = 5
x + 3 = 3 + 3 = 6                    5¹6
  • x = 4
2x – 1 = 2.4 – 1 = 8 – 1 = 7
x + 3 = 4 + 3 = 7                    7=7
Pro x = 4 jsou si výrazy 2x – 1 a x + 3 rovny ( L = P ).
Rovnice
  • rovnice je zápis dvou výrazů s proměnnou
  • tuto proměnnou nazýváme neznámá a označujeme jí písmeny – nejčastěji x, y
  • řešit rovnici znamená hledat taková čísla, aby se po dosazení za neznámou změnila rovnice na rovnost
  • číslo, které je řešením rovnice, označujeme kořen rovnice nebo řešení rovnice
Příklad: Ve třídě je celkem 25 žáků, z toho je 12 chlapců. Kolik dívek je v této třídě?
Zápis
chlapci                                               12
dívky                                      x
celkem                                               25
Platí: chlapci + dívky = celkem žáků
12 + x = 25
Snadno zjistíme, že x = 25 – 12 = 13, tedy ve třídě je 13 dívek.
12 + x = 25
        x = 25 – 12
        x = 13
Řešení rovnice ověříme zkouškou:
Levá strana rovnice                                                  Pravá strana rovnice
L = 12 + x                                                                  P = 25
L = 12 + 13
L = 25                                     L = P
Jestliže platí, že L = P, znamená to, že jsme rovnici vyřešili správně. Pokud by vyšlo L¹P, pak máme v řešení rovnice chybu.
Řešení rovnic
Při řešení rovnic používáme ekvivalentní úpravy ( = úpravy, při kterých se kořen rovnice nezmění ):
  • k oběma stranám rovnice přičteme stejné číslo ( stejný jednočlen nebo mnohočlen )
  • od obou stran rovnice odečteme stejné číslo ( stejný jednočlen nebo mnohočlen )
  • obě strany rovnice vynásobíme stejným číslem různým od nuly
  • obě strany rovnice vydělíme stejným číslem různým od nuly
  • zaměníme strany rovnice
Příklad řešení:
2x – 1 = x + 3
k oběma stranám rovnice přičteme číslo 1 – tak na levé straně eliminujeme čísla a zbude jen výraz s proměnnou
2x – 1 + 1 = x + 3 + 1
2x            = x + 4
nyní odečteme od obou stran rovnice neznámou x – tak se na pravé straně zbavíme neznámé a zbudou tam jen čísla
2x – x = x + 4 – x
x        =       4
Nyní máme rovnici vyřešenou – pomocí ekvivalentních úprav jsme našli řešení.
Zkouška:
L = 2x – 1 = 2.4 – 1 = 8 – 1 = 7
P = x + 3 = 4 + 3 = 7                                     L = P
Podobně:
x + 11 = 3x – 1
nejprve od obou stran odečteme neznámou x
x + 11 – x = 3x – 1 – x
      11      = 2x – 1
nyní k oběma stranám rovnice přičteme 1
     11 + 1 = 2x – 1 + 1
dostáváme
       12   = 2x
obě strany rovnice dělíme číslem 2
     12 : 2 = 2x : x
dostáváme
      6 = x
obě strany můžeme zaměnit pro lepší přehlednost výsledku
x = 6                           kořen rovnice
Zkouška:
L = x + 11                                                      P = 3x - 1
L = 6 + 11 = 17                                              P = 3 . 6 – 1 = 18 – 1 = 17
L = P
Rovnice x + 11 = 3x – 1 má řešení x = 6.
Takováto řešení jsou ovšem dlouhá, v praxi se používá zkrácený zápis.
Postup při řešení rovnic – zkrácené řešení
  • členy s neznámou převedeme na jednu stranu rovnice, čísla na druhou stranu rovnice
  • při převodu členů z jedné strany na druhou změníme znaménka těchto členů
x + 11 = 3x – 1
neznámé dáme na pravou stranu ( je tam výraz 3x, na straně levé je výraz x, takže menší – tohle je jen jednodušší cesta, klidně můžeme neznámou převést na levou stranu a pak počítat s výrazem -2x a rovnici pak dělit číslem -2; jde jen o zkušenostJ), čísla na stranu levou – všimni si, že vše převedené píši NA KONEC levé nebo pravé strany
Pokud bychom převedli neznámé na levou stranu a čísla na pravou, dostaneme:
x – 3x = - 1 – 11
-2x = -12                     dělíme číslem u x, tedy -2
x = -12 : ( -2 ) = + 6    řešení se tedy nezměnilo
Zkouška byla provedena na počátku této kapitoly.