Matematika

MATEMATIKA
           
              

 

"Vítejte v modulu Matematika"

Pokud chcete chcete získat doporučení od učitele nebo naplánovat výuku on-line ? Registrujte se !       

 


Mnohočleny násobení

 

* Toto je pouze všeobecné  verze dokumentu. Chybějí zde potřebné obrázky a test  ! Celý dokument si můžete prohédnout registraci.
Typ materiálu
Dokument - Základní orientace
KOMU
ZŠ 2. Stupeň/ 8.ročník
TÉMA
Násobení a dělení mnohočlenů
JAK
Rodič ðžák (
Počet stran
7
Autor
Mgr. Lenka Eiseltová
Násobení a dělení mnohočlenů   ( důležité žlutě)   
  • násobení jednočlenů
Víme:
am . an = am+n
Příklady:
2y . 3y2 = 2 . 3 . y . y2 = 6y1 + 2 = 6y3
napřed vynásobíme koeficienty ( 2 . 3 = 6 ), potom vynásobíme mocniny se stejným základem ( y . y2 = y3 ), mocniny i koeficienty můžeme sdružovat
stejně
-6xy . 8y . x4 = - 48x5y2
4a . 5b = 20ab
12u . 2v . (-3u3) = -72u4v
6b . ( -3a ) = -18ba = -18ab                           obvykle řadíme proměnné podle abecedy
  • násobení mnohočlenu jednočlenem
Mnohočlen jednočlenem násobíme tak, že vynásobíme daným jednočlenem každý člen mnohočlenu. Vzniklé součiny podle možností sečteme nebo odečteme.
 
Podobně
4p . ( p + 3 ) = 4p2 + 12p
-3a2b . ( a + 2c ) = - 3a3b - 6a2bc
-3a2b . ( 2a – 5b ) = - 6a3b + 15a2b2
2a . ( a + b ) + b . ( a – 3b ) = 2a2 + 2ab + ba -3b2 = 2a2 + 3ab -3b2
Poznámka: násobení je komutativní, takže 3 . 2 = 2 . 3, stejně i a.b = b.a
3 . ( 2t + 7 ) – 2 . ( 5t – 6 ) = 6t + 21 -10t + 12 = - 4t + 33
Příklad:
( 2x – 9 ) . ( x – 7 ) + ( x + 6 ) . ( x – 4 ) =
Nejprve vypočítáme oba součiny
( 2x – 9 ) . ( x – 7 ) = 2x2 – 14x – 9x + 63 = 2x2 – 23x + 63
( x + 6 ) . ( x – 4 ) = x2 – 4x + 6x – 24 = x2 + 2x – 24
Poté výsledky násobení zapíšeme do závorek a vypočteme:
( 2x2 – 23x + 63 ) + ( x2 + 2x – 24 ) = 2x2 – 23x + 63 + x2 + 2x – 24 = 3x2 – 21x + 39
Příklad
( 2x – 9 ) . ( x – 7 ) – ( x + 6 ) . ( x – 4 ) =
Nejprve vypočítáme oba součiny
( 2x – 9 ) . ( x – 7 ) = 2x2 – 14x – 9x + 63 = 2x2 – 23x + 63
( x + 6 ) . ( x – 4 ) = x2 – 4x + 6x – 24 = x2 + 2x – 24
Poté výsledky násobení zapíšeme do závorek a vypočteme:
( 2x2 – 23x + 63 ) - ( x2 + 2x – 24 ) = 2x2 – 23x + 63 - x2 - 2x + 24 = x2 – 25x + 87
POZOR! Součiny odčítáme, takže musíme změnit znaménka v závorce!
 
  • násobení mnohočlenu mnohočlenem
Při násobení mnohočlenů musíme každý člen jednoho mnohočlenu vynásobit každým členem druhého mnohočlenu. Získané členy pak sečteme podle pravidel sčítání mnohočlenů.
( a + 3 ) . ( 2a - 7 ) = a . 2a + a . ( - 7 ) + 3 . 2a + 3 . ( - 7 ) = 2a2 - 7a + 6a - 21 = 2a2 – a – 21
Pro tvojí kontrolu: násobíme dvojčlen ( a + 3 ) dvojčlenem ( 2a – 7 ), takže po vynásobení dostaneme čtyři členy ( 2a2 - 7a + 6a – 21 ).
Podobně
( a + b ) . ( a – 6 ) = a . a + a . ( - 6 ) + b . a + b . ( - 6 ) = a2 – 6a + ab – 6b
( 2u – 3 ) . ( u – 9 ) = 2u . u + 2u . ( - 9 ) – 3 . u – 3 . ( - 9 ) = 2u2 – 18u – 3u + 27 =
 = 2u2 – 21u + 27
( a + b ) . ( a – 4ab + 6b ) = a . a + a . ( - 4ab ) + a . 6b + b . a + b . ( - 4ab ) + b . 6b = a2 – 4a2b + 6ab + ab – 4ab2 + 6b2 = a2 – 4a2b + 7ab – 4ab2 +6b2
Pro tvojí kontrolu: násobíme dvojčlen ( a + b ) trojčlenem ( a – 4ab + 6b ), takže po vynásobení dostaneme 2 . 3 = 6 členů (a2 – 4a2b + 6ab + ab – 4ab2 + 6b2).
Poznámka:
a ( a + b ) = ( a + b ) . a                     násobení je komutativní, takže můžeme pořadí členů obrátit; záleží na tobě, který způsob násobení ti více vyhovuje
  • dělení mnohočlenu jednočlenem ( budeme předpokládat, že jednočlen je různý od nuly, protože nulou dělit nelze )
Víme:
am : an = am-n
Příklady
12ab : 2b = 6a                   nejprve dělíme koeficienty ( 12 : 2 = 6 ), potom dělíme mocniny se stejným základem ( b : b = 1 ), mocnitele ( pro stejný základ ) odčítáme
Stejně
-4a3b4 : a2b2 = -4ab2
25yz3 : ( -5z2 ) = -5yz
 
Mnohočlen dělíme jednočlenem tak, že daným jednočlenem dělíme každý člen mnohočlenu. Vzniklé podíly můžeme sečíst nebo odečíst ( je-li to možné).
 
Podobně
( 15xz – 20y2z3 ) : 5z = 3x – 4y2z2
( -18p3q2 + 24 p2q3 ) : ( - 6pq ) = 3p2q – 4pq2
( 7s5t2 + 14st ) : 7s = s4t2 + 2t
( 12ab – 6 ) : 6 = 2ab - 1
Pro tvoji kontrolu: dělíme dvojčlen jednočlenem, ve výsledku musí být dva členy.
Podobně i pro trojčleny:
( 6ab + 8ac – 2ad ) : 2a = 3b + 4c – d
 
Poznámka:
Dělení dvojčlenem je látka zařazená až na střední školu.