Matematika

MATEMATIKA
           
              

 

"Vítejte v modulu Matematika"

Pokud chcete chcete získat doporučení od učitele nebo naplánovat výuku on-line ? Registrujte se !       

 


Slovní úlohy soustava rovnic

 

Toto je pouze náhledová verze dokumentu. Celý dokument si můžete prohédnout po registraci
Typ materiálu
Dokument - Základní orientace
KOMU
ZŠ 2. Stupeň/ 8. -9.ročník
TÉMA
Slovní úlohy řešené soustavou rovnic
JAK
Rodič ðžák (
Počet stran
8
Autor
Mgr. Lenka Eiseltová
Slovní úlohy řešené soustavou rovnic
Příklad:  Ze dvou druhů čaje v ceně 180 Kč za kilogram a 240 Kč za kilogram se má připravit 12 kg směsi v ceně 200 Kč za kilogram. Kolik kilogramů každého druhu čaje bude potřeba smíchat?
Řešení

 
Množství v kg
Cena v Kč
První druh
x
180 . x
Druhý druh
y
240 . y
Celkem
12
200 . 12 = 2 400 Kč

Sestavíme soustavu rovnic
( 1 ) x + y = 12                                  
( 2 ) 180x + 240y = 2 400     
Soustavu řešíme například metodou dosazovací:
( 1 ) y = 12 – x
( 2 ) 180x + 240 ( 12 – x ) = 2 400
( 2 ) 180x + 2 880 – 240x = 2 400
( 2 ) 2 880 – 2 400 = -180x + 240x
( 2 ) 480 = 60x
( 2 ) x = 480 : 60
( 2 ) x = 8 kg
( 1 ) y = 12 – x
( 1 ) y = 12 – 8
( 1 ) y = 4 kg
Zkouška:
první druh čaje                                   8 kg po 180 Kč/kg                  1 440 Kč
druhý druh čaje                                  4 kg po 240 Kč/kg                   960 Kč    
celkem                                                           12 kg                                      2 400 Kč, tj. 200 Kč/kg
Bude potřeba smíchat 8 kg čaje v ceně 180 Kč/kg se 4 kg čaje v ceně 240 Kč/kg.
 
 
 
 
Příklad: V hotelu jsou pouze dvojlůžkové a pětilůžkové pokoje. Hotel nabízí 99 lůžek ve 30 pokojích. Kolik pokojů je dvojlůžkových a kolik pětilůžkových?
 
 

 
Počet pokojů
Počet lůžek na pokojích
Dvojlůžkové
x
2x
Pětilůžkové
y
5y
Celkem
30
99

Soustavu řešíme například metodou sčítací.
( 1 ) x + y = 30                       / . 2
( 2 ) 2x + 5y = 99                   / . ( -1 )
( 1 ) 2x + 2y = 60
( 2 ) -2x – 5y = - 99
        0x – 3y = -39
             -3y = - 39
               y = -39 : ( -3 )
             y = 13 pětilůžkových pokojů
( 1 ) x + y = 30
( 1 ) x + 13 = 30
( 1 ) x = 30 – 13 = 17 dvoulůžkových pokojů
Zkouška:
dvojlůžkové                17 pokojů                    2 . 17 = 34 lůžek
pětilůžkové                 13 pokojů                    5 . 13 = 65 lůžek
celkem                                                   30 pokojů                                  99 lůžek
V hotelu je 17 dvojlůžkových a 13 pětilůžkových pokojů.
Příklad: Pokladník má v pokladně jen dvacetikoruny a padesátikoruny. Celkem má v pokladně uloženo 1 190 Kč ve 37 mincích. Kolik je v pokladně dvacetikorun a kolik padesátikorun?

 
Počet mincí
Obnos
Dvacetikoruny
x
20x
Padesátikoruny
y
50y
Celkem
37
1 190 Kč

Soustavu řešíme například metodou dosazovací.
( 1 ) x + y = 37
(2) 20x + 50y = 1190
( 1 ) y = 37 – x
( 2 ) 20x + 50 ( 37 – x ) = 1190
( 2 ) 20x + 1850 – 50x = 1190
( 2 ) 20x – 50x = 1190 – 1850
( 2 ) – 30x = - 660
( 2 ) x = - 660 : ( -30 ) = 22 dvacetikorun
( 1 ) y = 37 – x = 37 – 22 = 15 padesátikorun
dvacetikoruny            22 kusů                                  22 . 20 = 440 Kč
padesátikoruny                          15 kusů                                  15 . 50 = 750 Kč
celkem                                                    37 kusů                                              1 190 Kč
V pokladně je 22 dvacetikorun a 15 padesátikorun.
V následujících úlohách uvádím jen zápis a konečné řešení příkladů – postup vyber podle svého uvážení.
Příklad: Ve školce mají pro děti dvacet vozítek: autíček a motorek. Všechna vozidla dohromady mají 62 kol. Kolik mají ve školce autíček a kolik motorek?

 
Počet vozidel
Počet kol
autíčka
x
4x
motorky
y
2y
celkem
20
62

( 1 ) x + y = 20
( 2 ) 4x + 2y = 66
Řešení: 11 autíček ( 44 kol ) a 9 motorek ( 18 kol ).
 
 
Příklad: Sud naplněný po okraj vodou váží i s vodou 8 kg. Jestliže odlijeme polovinu vody, bude hmotnost sudu se zbývající vodou 5 kg. Kolik kg váží prázdný sud?
Poznámka: hmotnost sudu je stejná v obou případech!
sud                  x
voda                y
( 1 ) x + y = 8                                                 sud plný vody
( 2 ) x + 0,5y = 5                                            sud a polovina vody
Řešení: x = 2 kg, y = 6 kg. Prázdný sud váží 2 kg, voda 6 kg.
Příklad: Litr pomerančového džusu je o 5 Kč dražší než litr jablečného džusu. Za 2 litry pomerančového džusu a tři litry jablečného džusu zaplatíme 85 Kč. Kolik Kč stojí litr pomerančového a kolik Kč stojí litr jablečného džusu?
Uvádím jednodušší řešení:
Jablečný džus                                    x Kč za litr                             
Pomerančový džus                x + 5 Kč za litr
2 litry pomerančového + 3 litry jablečného = 85
2 ( x + 5 ) + 3 . x = 85
2x + 10 + 3x = 85
5x = 85 – 10
5x = 75
x = 75 : 5 = 15 Kč za litr jablečného džusu, 20 Kč za litr pomerančového džusu.
Tuto úlohu můžeme řešit i soustavou
jablečný džus             x Kč za litr
pomerančový             y Kč za litr
( 1 ) y = x + 5
( 2 ) 2y + 3x = 85